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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
11.
Hallar el vértice de la parábola que es el gráfico de la función $f$. Dar su imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Graficar.
d) $f(x)=3 x^{2}+12 x-9$
d) $f(x)=3 x^{2}+12 x-9$
Respuesta
Identifiquemos primero qué tipo de estructura de función cuadrática tenemos (polinómica, factorizada o canónica).
Es polinómica: $f(x) = ax^2 +bx + c$, donde $a = 3$, $b = 12$ y $c = -9$.
El vértice de la función está en el punto $(Xv, Yv)$, donde $Xv = \frac{-b}{2a}$ y $Yv = f(Xv)$. En este caso, $a = 3$ y $b = 12$, por lo que $Xv = \frac{-12}{2*3} = -2$. Sustituyendo este valor en la función, obtenemos $Yv = f(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) - 9 = 12 - 24 - 9 = -21$.
$V = (-2, -21)$
La imagen de la función depende del signo de $a$ y del valor de $Yv$. Como $a>0$ la imagen tendrá la forma $[Yv, +\infty)$.
$\text{Im}f = [-21, +\infty)$
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento son determinados por el signo de $a$ y el valor de $Xv$. Como $a > 0$, estos intervalos serán $I\uparrow = (Xv, +\infty)$ e $I\downarrow = (-\infty, Xv)$.
$I\uparrow = (-2, +\infty)$
$I\downarrow = (-\infty, -2)$