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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2 - Funciones

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11. Hallar el vértice de la parábola que es el gráfico de la función ff. Dar su imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Graficar.
d) f(x)=3x2+12x−9f(x)=3 x^{2}+12 x-9

Respuesta

Identifiquemos primero qué tipo de estructura de función cuadrática tenemos (polinómica, factorizada o canónica). Es polinómica:  f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 +bx + c, donde a=3a = 3, b=12b = 12 y c=−9c = -9.
El vértice de la función está en el punto (Xv,Yv)(Xv, Yv), donde Xv=−b2aXv = \frac{-b}{2a} y Yv=f(Xv)Yv = f(Xv). En este caso, a=3a = 3 y b=12b = 12, por lo que Xv=−122∗3=−2Xv = \frac{-12}{2*3} = -2. Sustituyendo este valor en la función, obtenemos Yv=f(−2)=3(−2)2+12(−2)−9=12−24−9=−21Yv = f(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) - 9 = 12 - 24 - 9 = -21. V=(−2,−21)V = (-2, -21)


La imagen de la función depende del signo de aa y del valor de YvYv. Como a>0a>0 la imagen tendrá la forma [Yv,+∞)[Yv, +\infty). Imf=[−21,+∞)\text{Im}f = [-21, +\infty)

Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento son determinados por el signo de aa y el valor de XvXv. Como a>0a > 0, estos intervalos serán I↑=(Xv,+∞)I\uparrow = (Xv, +\infty) e I↓=(−∞,Xv)I\downarrow = (-\infty, Xv). 

I↑=(−2,+∞)I\uparrow = (-2, +\infty) 
I↓=(−∞,−2)I\downarrow = (-\infty, -2)


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